ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ: ಹೇಗೆ ಮಾಡಲು? ವಿಧಗಳು ಪ್ಲೇನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು

ವಿಮಾನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ಒಂದು ಡಾಟ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್, ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು, ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು, ಇತ್ಯಾದಿ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ ವಿಮಾನ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವಿಧ ಹೊಂದಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಲೇನ್ ಇರಬಹುದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, ಲಂಬವಾಗಿ, ಛೇದಿಸುವ, ಇತ್ಯಾದಿ ಈ ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ನಾವು ವಿಮಾನ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಮಾಡಲು ಕಲಿಯುವಿರಿ.

ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ

ಆರ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಕ್ಸ್ವೈಜೆಡ್ ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು _3, ಆಗಿದ್ದರೆ. ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ α ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಕ ಆರಂಭದ ಒ ಬಿಡುಗಡೆ ನಡೆಯಲಿದೆ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ α, ಇದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವಿಮಾನವು ಪಿ ಸೆಳೆಯಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು.

ಒಂದು ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಶ್ನೆ = (X, Y, Z) ನಲ್ಲಿ ಪಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಶ್ನೆ ಸೈನ್ ಅಕ್ಷರದ ಪು ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ α ಪು = IαI ಮತ್ತು Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

ಈ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್, ವೆಕ್ಟರ್ α ಎಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಇದು. α, β ಮತ್ತು γ - ಕ್ರಮವಾಗಿ z ವೈ ಜಾಗವನ್ನು ಅಕ್ಷಗಳ ಕ್ಷ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಡುವೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳು Ʋ, ಇವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ QεP Ʋ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಇದು ಪು (ಪು, Ʋ) = ಪಿ (r≥0) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಪು = 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ N ವಿಮಾನ, ಬಿಂದು O (α = 0), ಇದು ಮೂಲದ ಘಟಕದ ವೆಕ್ಟರ್ Ʋ, ಬಿಂದು O ಬಿಡುಗಡೆ ದಾಟಲು, ಪಿ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಇರುತ್ತದೆ ದಿಕ್ಕನ್ನು, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ Ʋ ನಿರ್ಣಯಿಸಿತು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ ಅಪ್ ಚಿಹ್ನೆಗೆ. ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಮ್ಮ ವಿಮಾನ ಪಿ ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರು. ಆದರೆ ಅದರ ಕಕ್ಷೆಗಳು ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಆಗಿದೆ:

ಪಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ 0 ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ಲೇನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕಂಡು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ

ನಿರ್ದೇಶನಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಬಹಳ ಪ್ಲೇನ್ ವರ್ಣಿಸಬಹುದು ಪಡೆಯಲು. ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಫಾರ್ಮ್ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ, ಎ, ಬಿ, ಸಿ - ಶೂನ್ಯ ವಿವಿಧ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ವರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಮಾನಗಳು. ವಿಶೇಷ ಮಾದರಿಗಳು

ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಗುಣಾಂಕ ಎ 0 ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುವುದು ಊಹಿಸಿ ಆ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಅಕ್ಷದ ಎತ್ತು ವಿಮಾನವು ಸಮಾನಾಂತರ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ: ವು + CZ ಡಿ = 0.

ಅಂತೆಯೇ, ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು:

• ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಬಿ = 0 ವೇಳೆ, ಅಕ್ಷದ ಓಯ್ ಗೆ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸೂಚಿಸುವ ಕೊಡಲಿ + CZ ಡಿ = 0 ಸಮೀಕರಣದೊಳಗೆ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗುತ್ತದೆ.
• ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಸಿ = 0 ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಏಕ್ಸ್ ಇವರಿಂದ ಡಿ = 0 ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಅಕ್ಷದ ಓಜ್ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲು ಹೊಂದಿದೆ.
• ಮೂರನೇ, ಡಿ = 0 ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣ ಪ್ಲೇನ್ ಸಂಧಿಸುವ ಒ (ಮೂಲ) ಅರ್ಥ ಇದು ಏಕ್ಸ್ ಇವರಿಂದ + CZ = 0, ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ.
• ನಾಲ್ಕನೆಯದಾಗಿ, ಒಂದು ವೇಳೆ = ಬಿ = 0, ಆಕ್ಸಿ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಾಬೀತು ಇದು CZ ಡಿ = 0 ಸಮೀಕರಣದೊಳಗೆ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗುತ್ತದೆ.
• ಐದನೇ, ಬಿ = ಸಿ = 0 ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣ ವಿಮಾನವು Oyz ಸಮಾಂತರವಾದ ಅರ್ಥ ಏಕ್ಸ್ ಡಿ = 0, ಆಗುತ್ತದೆ.
• ಆರನೆಯದಾಗಿ, ಎ = ಸಿ = 0, ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ವು ಡಿ = 0 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ವೇಳೆ ಅಂದರೆ, ಏಕಕಾಲಿಕ Oxz ವರದಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಫಾರ್ಮ್

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಶೂನ್ಯ ಡಿ ವಿಭಿನ್ನ, ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ (0) ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇರಬಹುದು:

X / ಒಂದು + ವೈ / B + z / ಸಿ = 1,

ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು = -D / ಎ, ಬಿ = -D / ಬಿ, ಸಿ = -D / ಸಿ

ನಾವು ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಲೇನ್ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. (0, ಬಿ, 0), ಮತ್ತು ವಿಜರ್ಡ್ - - (0.0, ಗಳು) ಈ ವಿಮಾನ ಕಕ್ಷೆಗಳು (ಒಂದು 0.0), Oy ಜತೆಗೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ X ಅಕ್ಷದ ಛೇದಿಸುವ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಸಮೀಕರಣದ X / ಒಂದು + ವೈ / B + z / ಸಿ = 1, ಇದು ಒಂದು ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿಯೋಜನೆ ಪ್ಲೇನ್ ಸಂಬಂಧಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ

ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎನ್ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಎನ್ (ಎ, ಬಿ, ಸಿ) ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಂದು ಕಕ್ಷೆಗಳು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಎನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಲುವಾಗಿ, ಇದು ವಿಮಾನ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ತಿಳಿಯಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಬಳಸುವಾಗ ರೂಪ X / ಒಂದು + ವೈ / B + z / ಸಿ = 1, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವಾಗ ಬರೆಯಬಹುದು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮಾಡಬಹುದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದು ವಿಮಾನ: (1 / ಒಂದು +1 / B + 1 / ಸಿ).

ಇದು ಸಹಾಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ವಿಮಾನಗಳು ಅಥವಾ ವಿಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳು ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪುರಾವೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ಲೇನ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಪ್ರಕಾರ ಟೈಪ್

ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಎನ್, ನೀಡಿರುವ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಲಂಬವಾದ, ಒಂದು ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಎಂದು.

ಸಂಘಟಿಸಲು ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು) ಆ Oxyz ಸೆಟ್ ಭಾವಿಸೋಣ:

• ಕಕ್ಷೆಗಳು ಜೊತೆ Mₒ ಪಾಯಿಂಟ್ (hₒ, uₒ, zₒ);
• ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎನ್ = ಎ * ನಾನು + ಬಿ * J + ಸಿ * ಕೆ.

ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎನ್ ಲಂಬವಾಗಿರುವ Mₒ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಅನಿರ್ಬಂಧಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು M (X, Y, Z) ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ (X, Y, Z) ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಲೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ ಆರ್ = X * ನಾನು + ವೈ * ಜೆ + z * ಕೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ Mₒ ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ (uₒ, hₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * ನಾನು uₒ + * J + zₒ * ಕೆ. ವೆಕ್ಟರ್ MₒM ವೆಕ್ಟರ್ ಎನ್ ಲಂಬವಾಗಿರದ ವೇಳೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ಲೇನ್ ಸೇರಿರುವ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸ್ಕೆಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆರ್ಥೊಗೊನಾಲಿಟಿಯನ್ನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಬರೆಯಲು:

[MₒM, ಎನ್] = 0.

MₒM = ಆರ್-rₒ ರಿಂದ, ಸಮತಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ:

[ಆರ್ - rₒ, ಎನ್] = 0.

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮತ್ತೊಂದು ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಸ್ಕೆಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆ. [ಆರ್ - rₒ, ಎನ್] = [ಆರ್, ಎನ್] - [rₒ, ಎನ್]. [Rₒ, ಎನ್] ಗಳು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು: [ಆರ್, ಎನ್] - ಒಂದು = 0 ಅಥವಾ ಪ್ಲೇನ್ ಸೇರಿರುವ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಂಕಗಳನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯ-ವಾಹಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಹಠ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವಂತಹ [ಆರ್, ಎನ್] = ಗಳು.

ಈಗ ನೀವು ಸಂಘಟಿಸಲು ರೀತಿಯ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಪ್ಲೇನ್ ನಮ್ಮ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪಡೆಯಬಹುದು [ಆರ್ - rₒ, ಎನ್] = 0 ರಿಂದ ಆರ್-rₒ = (ಎಕ್ಸ್ hₒ) * ನಾನು + (y uₒ) * J + (Z- zₒ) * ಕೆ, ಮತ್ತು ಎನ್ = ಎ * ನಾನು + ಬಿ * J + ಸಿ * ಕೆ, ನಾವು:

ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎನ್ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ಲೇನ್ ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿರುಗಿದರೆ:

ಎ * (X hₒ) + ಬಿ * (ವೈ uₒ) ಎಸ್ * (ಝಡ್ zₒ) = 0.

ಪ್ಲೇನ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪಥವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಹರೇಖಿಯಲ್ಲದ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಪ್ರಕಾರ ಟೈಪ್

ನಾವು ಎರಡು ನಿರಂಕುಶ ವಿಷಯಗಳ ಎಂ '(X' ಎಂಬುದು ವೈ ', Z') ಮತ್ತು M "(x" ವೈ ", Z"), ಹಾಗೂ ವೆಕ್ಟರ್ (ಒಂದು ', ಒಂದು ", ಒಂದು ‴) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು.

ಈಗ ನಾವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ 'ಮತ್ತು ಎಂ "ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣದ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ವಿಮಾನ, ಕಕ್ಷೆಗಳು ಎಂ (X, Y, Z) ಏಕಕಾಲಿಕ ನೀಡಿರುವ ವಾಹಕವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ M'M ವಾಹಕಗಳನ್ನು X = {X 'ಎಂಬುದು ವೈ-ವೈ'; ZZ '} ಮತ್ತು ಎಂ "ಎಂ = {X" -x', ವೈ 'ವೈ'; z "-z '} ರೋಗವಾಹಕದೊಂದಿಗೆ coplanar ಇರಬೇಕು ಒಂದು = (ಒಂದು ', ಒಂದು "ಅಂದರೆ ಒಂದು ‴), ಎಂದು (M'M ಎಂ" ಎಂ, ಒಂದು) = 0.

ಆದ್ದರಿಂದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ:

ಪ್ಲೇನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ದಾಟಿ

ಅದೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರುವುದಿಲ್ಲ, ', (X (X' ಎಂಬುದು ವೈ ', z) ವಾಗಿ', ವೈ ', Z') (Z, X ‴ ಹ್ಯಾವ್ ‴, ‴): ನಾವು ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ವಿಮಾನ ನಿಗದಿತ ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮುಖಾಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಬರೆಯಲು ಅಗತ್ಯ. ರೇಖಾಗಣಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕೇವಲ ಒಬ್ಬನೇ ಇಲ್ಲಿದೆ, ವಿಮಾನ ಈ ರೀತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಮತಲದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ ರಿಂದ (X 'ಎಂಬುದು ವೈ', Z '), ಅದರ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ಎಂದು:

ಇಲ್ಲಿ, ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಪ್ಲೇನ್ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ (x "ವೈ", Z ") ಮತ್ತು (X ‴, ವೈ ‴, Z ‴). ಈ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಈ ರೀತಿಯ ನಡೆಸುವುದು:

ಈಗ ನಾವು ಏಕಪ್ರಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ರೇಖೀಯ) ಆಫ್ ಅಪರಿಚಿತರ U, V, W ಜೊತೆ:

ನಮ್ಮ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ X, ವೈ ಅಥವಾ z ಸಮೀಕರಣದ (1) ಸರಿಹೊಂದುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿಂತಿದೆ. (1) ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (2) ಮತ್ತು (3) ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ತೃಪ್ತಿ ಎನ್ (ಎ, ಬಿ, ಸಿ) ಇದು nontrivial ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇದು.

ಸಮೀಕರಣ (1) ನಾವು ಮಾಡಲೇಬೇಕು, ಈ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ. 3 ಪಾಯಿಂಟ್ ಅವರು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಸುಲಭ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧಾರಕ ಅಂಶದ (X 'ಎಂಬುದು ವೈ', Z '), (x "ವೈ", Z "), (X ‴, ವೈ ‴, Z ‴) ನಮ್ಮ ವಿಮಾನ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮೂಲತಃ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಧಿಸುವ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ನಮಗೆ ಮುಂದೆ ತರಾಟೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು.

ವಿಮಾನಗಳು ನಡುವೆ ದ್ವಿತಲಕೋನ

ದ್ವಿತಲಕೋನ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ, ಎರಡು ಅರ್ಧ-ವಿಮಾನಗಳು ರೂಪುಗೊಂಡ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರ ಹೊಂದಿದೆ. ಅರ್ಥಾತ್, ಅರ್ಧ ವಿಮಾನಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಂತರಿಕ್ಷದ ಭಾಗ.

ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮತಲ ಅಂದುಕೋ:

ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಎನ್ = (ಎ, ಬಿ, ಸಿ) ಮತ್ತು N¹ = ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ವಿಮಾನಗಳು ಪ್ರಕಾರ (A¹, H¹, S¹) ಲಂಬವಾಗಿರುವ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಕೋನ ಈ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ನಡುವೆ ಇದೆ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಎನ್ ಮತ್ತು N¹ ಸಮಾನ ಕೋನದಲ್ಲಿ (ದ್ವಿಮುಖಿ) ಗಳ ಮಧ್ಯೆ φ. ಸ್ಕೆಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನೀಡಬಹುದು:

NN¹ = | ಎನ್ || N¹ | ಕಾಸ್ φ,

ನಿಖರವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ

cosφ = NN¹ / | ಎನ್ || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ಚದರ + (H¹) ಚದರ + (S¹) ಚದರ)).

ಇದು 0≤φ≤π ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು.

ವಿಭಾಗಿಸುವಂತಹ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು, ರೂಪ ಎರಡು ಕೋನದಲ್ಲಿ (ದ್ವಿಮುಖಿ): φ ₁ ಮತ್ತು φ _2. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ π ಗೆ (φ ₁ + φ ₂ = π) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತಮ್ಮ ಕೋಸೈನ್ಗಳು ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟಂತೆ ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು, ಅಂದರೆ ಸಮ, ಆದರೆ ಅವರು ಬೇರೆ ಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ, ಕಾಸ್ φ ₁ = -cos φ _2. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (0) ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು -ಒಂದು, -b ಆಫ್ ಸಿ ಮತ್ತು -ಸಿ, ಸಮೀಕರಣ ಬದಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಪಡೆಯಲು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಕೋನ ಸಮೀಕರಣದ ಕಾಸ್ φ ರಲ್ಲಿ φ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ = ಎನ್.ಎನ್ ¹ / | ಎನ್ || ಎನ್ ¹ | ಇದು π-φ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾನಾಂತರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿಸುವಿಕೆ

ಪ್ಲೇನ್ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕಾಲ್ಡ್, ಇದು ನಡುವಿನ ಕೋನ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳು. ಮೇಲಿನ ಮಂಡಿಸಿದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬಳಸಿ, ನಾವು ಲಂಬಕೊನದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ವಿಮಾನ ಸಮನಾಗಿಸುವಿಕೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಭಾವಿಸೋಣ ನಾವು ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಹೊಂದಿವೆ: ಏಕ್ಸ್ ಇವರಿಂದ + CZ ಡಿ = 0, ಮತ್ತು + A¹h V¹u S¹z + ಡಿ = 0. ನಾವು ಅವರು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ಆಗಿ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು ಕಾಸ್ = 0 ವೇಳೆ. ಈ NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ = 0 ಅರ್ಥ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿಸುವಿಕೆ

ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಮಾನಗಳು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಮಾನಗಳು (ತಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಇವೆ) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಎನ್ ಮತ್ತು N¹, ಅವುಗಳನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಯಾವ ಒಂದು ಸಹರೇಖಿಯಲ್ಲದ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು proportionality ಪೂರೈಸಿದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥ:

ಎ / A¹ = ಬಿ / ಸಿ = H¹ / S¹.

ವೇಳೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪದಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿವೆ - ಎ / A¹ = ಬಿ / ಸಿ = H¹ / S¹ = DD¹,

ಇದೇ ಆಫ್ ದತ್ತಾಂಶ ಸಮತಲ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ + D¹ = 0 ಒಂದೇ ಸಮತಲ ವಿವರಿಸಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೊಡಲಿ + ಮೂಲಕ + CZ ಡಿ = 0 ಮತ್ತು + A¹h V¹u S¹z ಅರ್ಥ.

ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರ

ನಾವು (0) ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ವಿಮಾನ ಪಿ, ಅಂದುಕೋ. ಇದು ಕಕ್ಷೆಗಳು ಜೊತೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅಗತ್ಯ (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , ನೀವು ಮಾಡಲು ಪ್ಲೇನ್ II ನೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣದ ತರಲು ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

(Ρ, ವಿ) = ಪಿ (r≥0).

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ρ (X, Y, Z) ಎನ್ ಪು ಇದೆ ನಮ್ಮ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಶ್ನೆ, ತ್ರಿಜ್ಯ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ - N ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಉದ್ದ ವಿ - ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್, ಆಗಿದೆ.

ಬಿಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ = (X, Y, Z) ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ρ-ρº ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್, ಎನ್ ಸೇರಿದ ಮತ್ತು ₀ = ಇಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (hₒ, uₒ, zₒ) ಪ್ರಶ್ನೆ ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿ ದೂರ ಡಿ, ಇದು ಪ್ರ ನಿಂದ ಪಡೆಯುವುದು ಅಗತ್ಯ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P ಗೆ:

ಡಿ = | (ρ-ρ ^0, ವಿ) |, ಆದರೆ

(Ρ-ρ ^0, ವಿ) = (ρ, ವಿ ) - (ρ ^0, ವಿ) ಪು = (ρ ^0, ವಿ).

ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತಿರುಗಿದರೆ,

ಡಿ = | (ρ ^0, ವಿ) ಪು |.

ಈಗ ಪ್ರಶ್ನೆ ವಿಮಾನವು ಪಿ ₀ ಅಂತರವನ್ನು ಡಿ ಲೆಕ್ಕ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೀಕ್ಷಣೆ ಪ್ಲೇನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಪುಟ ಎಡಕ್ಕೆ ಶಿಫ್ಟ್, ಮತ್ತು X, Y ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನ, z ನ ಬದಲಿ (hₒ, uₒ, zₒ).

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಡಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಭಾಷೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪಡೆಯಿರಿ:

ಡಿ = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಶ್ನೆ ₀ ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವೆ ಹುಟ್ಟಿಗೆ ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ ಇತರ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಆಗ ρ-ρ ⁰ ಮತ್ತು ವಿ , ಒಂದು ಅಧಿಕ ಕೋನವು ಹೀಗೆ:

ಡಿ = - (ρ-ρ ^0, ವಿ) = (ρ ^0, ವಿ) -p> 0.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಶ್ನೆ ₀ ಯು ಒಂದೇ ಬದಿಯ ಇದೆ ಮೂಲದ ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ, ತೀವ್ರ ಕೋನ ರೂಪಿಸಿದಾಗ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಂದು:

ಡಿ = (ρ-ρ ^0, ವಿ) ಪು = - (ρ ^0, ವಿ)> 0.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ ಮಾಜಿ ಕೇಸ್ (ρ ^0, ವಿ)> ಪು, ಎರಡನೇ (ρ ^0, ವಿ) <ಪು ಆ.

ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪ್ಲೇನ್ ಸಮೀಕರಣದ

ಸ್ಪರ್ಶಿತೆ Mº ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಪ್ಲೇನ್ ಕನ್ಸರ್ನಿಂಗ್ - ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಆ ಹೊರಸೆಳೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ತಿರುವಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಮಾನ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎಫ್ (X, Y, Z) = 0 ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪ್ಲೇನ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪಾಯಿಂಟ್ Mº ಆಫ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (uº, hº, zº) ಸಮುದಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಮೇಲ್ಮೈ ನಮೂನೆಯೊಂದಿಗೆ:

ಎಫ್ _{ಎಕ್ಸ್} (hº, uº, zº) (hº X) + ಎಫ್ _{ಎಕ್ಸ್} (hº, uº, zº) (uº ವೈ) + ಎಫ್ _{ಎಕ್ಸ್} (hº, uº, zº) (ಝಡ್ zº) = 0.

ಮೇಲ್ಮೈ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ Z = ಎಫ್ (X, Y) ಹೊಂದಿಸಿದಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪ್ಲೇನ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಝಡ್ zº = ಎಫ್ (hº, uº) (hº X) + F (hº, uº) (ವೈ uº).

ಎರಡು ಸಮತಳಗಳ ಛೇದನ

ರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಆಯತಾಕಾರದ) Oxyz, ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಪಿ 'ಮತ್ತು ಪಿ' ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ತಾಳೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಗಿದೆ. ಅದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಹೊಂದಿದೆ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ, ರಿಂದ, ನಾವು n + ಅಗಲ x 'ವೈ' "= 0 ಮತ್ತು ಒಂದು ಮತ್ತು n ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು A'x + V'u S'z + ಡಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ '" ಭಾವಿಸುತ್ತವೆ "z + ಡಿ" ಜೊತೆಗೆ = 0. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ 'ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎನ್ "(A" B "ಸಿ") ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪಿ' ಸಾಮಾನ್ಯ ಎನ್ '(ಎ', ಬಿ ', ಸಿ') ಹೊಂದಿವೆ. ನಮ್ಮ ವಿಮಾನ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ನಡೆಸದೇ ತಾಳೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು, ನಂತರ ಇವುಗಳನ್ನು ಆಗಿ ಸಹರೇಖಿಯಲ್ಲದ ಇಲ್ಲ. ಎನ್ '≠ ಎನ್ "↔ (ಎ', ಬಿ ', ಸಿ') ≠ (λ * ಮತ್ತು", λ * ರಲ್ಲಿ ", λ * ಸಿ"), λεR: ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿ, ನಾವು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಹೊಂದಿವೆ. ಛೇದಕ ಪಿ ಸ್ಥಿತವಾಗಿದೆ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ' "∩ ಪಿ ಮತ್ತು ಪಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು = ಪಿ, ಪತ್ರ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಡೆಯಲಿದೆ'" ಲೆಟ್.

ಮತ್ತು - ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ವಿಮಾನಗಳು ಪಿ 'ಮತ್ತು ಪಿ "ಒಂದು ಬಹುಸಂಖ್ಯಾ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಗೆರೆಯು ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ A'x + V'u S'z + ಡಿ '= 0 ಮತ್ತು ಒಂದು "X + ಬಿ' ಸಿ ವೈ" Z + ಡಿ "= 0 ನೆರವೇರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಅರ್ಥ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಅರ್ಥ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ (ಒಟ್ಟಾರೆ) ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಛೇದಕ ಪಿ 'ಮತ್ತು ಪಿ "ಪಾಯಿಂಟ್ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ಇದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು Oxyz (ಆಯತಾಕಾರದ) ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಎಂಬುದು.